„Semmiből egy új, más világot teremtettem.” - írja levelében Bolyai János 1823. november 3-án édesapjának, Bolyai Farkasnak. Ezt az időpontot, a Bolyai-féle hiperbolikus geometria megszületését tekinthetjük a nemeuklideszi geometriák születésnapjának. A másik klasszikusnak számító nemeuklideszi geometria, az elliptikus geometria Bernhard Riemann (1826-1866) nevéhez kapcsolódik, aki korszakos jelentőségű munkáját A geometria alapjául szolgáló hipotézisekről címmel 1854. június 10-én olvasta fel a göttingai egyetemen. Ez a munka már az ún. Riemann-terek alapjait fektette le, amelyek egyebek mellett az általános realativitáselmélet kidolgozásában is alapvető szerepet játszottak.
Az utóbbi száz évben a természettudományokban hihetetlen nagy fejlődés következett be. Ezen belül a különböző geometriai terek vizsgálatai mindig kulcsszerepet töltöttek be, számos új nemeuklideszi geometriát írtak le, de a két klasszikus, állandó görbületű geometria (a hiperbolikus és az elliptikus) a legmodernebb kutatásokban sem kikerülhető.
A szerzők a Budapesti Műszaki Egyetem Geometria Tanszékének tanárai